压轴题02 数列（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）-在线组卷

1. (2023·台州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
（2）若________（从下列三个条件中任选一个），求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

2. (2023·安庆模拟) 已知公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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3. (2023·宣城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为1的等差数列，公差 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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4. (2023·江门模拟) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次组成等差数列.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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5. (2023·汕头模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项的乘积，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数）．

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6. (2023·广州模拟) 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\text{[math]}$ ，各次答题结果互不影响.

（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数 $\text{[math]}$ 的数学期望为 $\text{[math]}$ .
①写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若 $\text{[math]}$ ，求i的最小值.

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7. (2023·武威模拟) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

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8. (2023·广州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ，并证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列：
（2）若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的所有取值.

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9. (2023·平谷模拟) 对于每项均是正整数的数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，定义变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将数列 $\text{[math]}$ 变换成数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．对于每项均是非负整数的数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，定义变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将数列 $\text{[math]}$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $\text{[math]}$ ；又定义 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $\text{[math]}$ ．

（1）如果数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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10. (2023·大理模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 和等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中的所有项分别构成集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前60项和 $\text{[math]}$ .

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11. (2022·齐齐哈尔模拟) 在① $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知数列 $\text{[math]}$ 满足____．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 中的项？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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12. (2022·义乌模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式：
（2）求 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ ．

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13. (2022·浙江模拟) 等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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14. (2022·和平模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的等差中项．等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）将数列 $\text{[math]}$ 与数列 $\text{[math]}$ 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3） $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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15. (2022·延庆模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 $\text{[math]}$ 项的最大值记为 $\text{[math]}$ ，最小值记为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，并将数列 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“生成数列”．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和；
（2）设数列 $\text{[math]}$ 的“生成数列”为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ 是等比数列，证明：存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是等比数列．

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16. (2022·滨海模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前23项和．

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17. (2022·天津市模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列．

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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18. (2022·天津市模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 成等差数列．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（3）若数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

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19. (2022·通州模拟) 从一个无穷数列 $\text{[math]}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 $\text{[math]}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 $\text{[math]}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的所有可能情况；
（2）求证：数列 $\text{[math]}$ 存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

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20. (2022·西城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是给定的正整数，且 $\text{[math]}$ .令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .这里， $\text{[math]}$ 表示括号中各数的最大值， $\text{[math]}$ 表示括号中各数的最小值.

（1）若数列 $\text{[math]}$ ：2，0，2，1，-4，2，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若数列 $\text{[math]}$ 是公差 $\text{[math]}$ 的等差数列，数列 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中所有项的一个排列，求 $\text{[math]}$ 的所有可能值（用 $\text{[math]}$ 表示）.

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21. (2022·河西模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．

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22. (2022·顺义模拟) 设正整数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 所有可能的取值；
（2）记集合 $\text{[math]}$ ，证明：若集合 $\text{[math]}$ 存在一个元素是3的倍数，则 $\text{[math]}$ 的所有元素都是3的倍数；
（3）若 $\text{[math]}$ 为周期数列，求 $\text{[math]}$ 所有可能的取值.

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23. (2022·济南二模) 已知 $\text{[math]}$ 是递增的等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为等比数列 $\text{[math]}$ 的前三项.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）删去数列 $\text{[math]}$ 中的第 $\text{[math]}$ 项（其中 $\text{[math]}$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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24. (2022·长兴模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （q为实数，且 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列．

（1）求q的值和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，试求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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25. (2022·广东三模) 已知数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）计算 $\text{[math]}$ 的值，求{ $\text{[math]}$ }的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和 $\text{[math]}$ .

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26. (2022高三上·铁岭月考) 已知正项等差数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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27. (2022·金华模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 单调递增且 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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28. (2022·岳阳模拟) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项为1公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 恒成立.

（1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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29. (2022·潍坊二模) 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等差数列；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．