如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E.

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1. (2022·海南) 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，且不与点B、C重合，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点E.
1. （1）当点P是 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F.
  ①证明 $\text{[math]}$ ，并求出在（1）条件下 $\text{[math]}$ 的值；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；
  ③如图2， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，点G是 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

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