对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.

1. (2022高一上·郴州期末) 对于定义域为D的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，同时满足：① $\text{[math]}$ 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时， $\text{[math]}$ 的值域也是[m， $\text{[math]}$ ；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由；
3. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出 $\text{[math]}$ 的最大值.

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1. (2022高一上·郴州期末) 对于定义域为D的函数 ， 如果存在区间 ， 同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.