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  • 1. (2021九上·亭湖月考) 【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端,则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角,如图①,∠APB是点P对线段AB的视角.

    数学理解,如图②,已知线段AB与直线l,在直线l上取一点P,使点P对线段AB的视角最大.

    1. (1) 过A、B两点,作⊙O使其与直线相切,切点为P,则点P对线段AB的视角最大,即∠APB最大,为了证明点P的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点Q,连接AQ,BQ,证明:∠APB>∠AQB即可,请完成这个证明.
    2. (2) 【问题解决】在足球电子游戏中,足球队球门的视角越大,越容易被踢进,如果一名球员沿直线带球前进,那么他应当在哪个地方射门,才能使进球的可能性最大?
      如图③,A、B是足球门的两端,线段AB是球门的宽,CD是球场边线,∠ADC是直角.

      ①若该球员沿边线CD带球前进,记足球所在的位置为点P,在图③中,用直尺和圆规在线段CD上求作点P,使点P对AB的视角最大(不写作法,保留作图痕迹).

      ②若M是线段CD上一点,∠CMN=60°,该球员沿射线MN带球前进(如图④),记足球所在的位置为点P,已知AB=4,BD=9,DM= , 求点P对AB的最大视角.

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