如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，之间的部分称为椭圆帽

1. (2021高二上·定州期中) 如图，过椭圆的左右焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作长轴的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两侧的椭圆弧删除再分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求“帽体段”的方程；
3. （2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.

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