如图，在矩形中，，直角尺的直角顶点P在上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交于点E．

1. (2022八下·环翠期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直角尺的直角顶点P在 $\text{[math]}$ 上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边 $\text{[math]}$ 交于点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）是否存在这样的点P，使 $\text{[math]}$ 的周长等于 $\text{[math]}$ 周长的2倍？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．