如图，在中，，斜边，现将绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点，为圆锥底面圆周上异于B，D的一点．

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1. (2022高三上·蚌埠期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，斜边 $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆周上异于B，D的一点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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