在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．

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1. (2021九上·汽开区期末) 在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点， $\text{[math]}$ ．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
1. （1）【探究】求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
  $\text{[math]}$ 的值为．
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，则MN的长为．

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吉林省长春市汽开区2021-2022学年上学期九年级期末数学试题