在边长为a的正方体上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体．

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1. (2022高二上·潍坊期中) 在边长为a的正方体 $\text{[math]}$ 上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；
3. （2）设 $\text{[math]}$ 的中心为O， $\text{[math]}$ 关于点O的对称的四面体记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

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山东省潍坊市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷