对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.

1. (2022高二上·阳江期中) 对于项数为 $\text{[math]}$ 的有穷数列 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中的最大值，称数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
1. （1）若各项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的 $\text{[math]}$ ；
3. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的控制数列，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）.证明： $\text{[math]}$ .
5. （3）考虑正整数 $\text{[math]}$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\text{[math]}$ .是否存在数列 $\text{[math]}$ ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列 $\text{[math]}$ 的个数；若不存在，请说明理由.

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1. (2022高二上·阳江期中) 对于项数为的有穷数列 ， 设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.