如图，在等边中，，动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为1cm/s，过点P作，垂足为D，，相交于点E，设运动的时间为t（

1. (2022九上·胶州期末) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动；动点Q同时从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为1cm/s，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点E，设运动的时间为t（s） $\text{[math]}$ ．
1. （1）当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？
3. （2）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为S（cm $\text{[math]}$ ），写出S与t的关系式；
5. （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由，
7. （4）试判断 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由．

微信扫码预览、分享更方便