在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为4，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．

1. (2023高三下·上海市开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正数）的右顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点 $\text{[math]}$ 到渐近线的距离为4，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均不是双曲线的顶点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求双曲线的方程；
3. （2）当直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率均存在时，设斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，试探究直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．