上海市2023届高三下学期数学开学摸底试卷

更新时间：2023-03-11 浏览次数：54 类型：开学考试

一、填空题

1. (2023高三下·上海市开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. (2023高三下·上海市开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）．若 $\text{[math]}$ 的反函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. (2023高三下·上海市开学考) 若方程x²﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝．

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4. (2023高三下·上海市开学考) 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于．（用数字作答）

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5. (2023高三下·上海市开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为虚数单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的模为.

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6. (2024高二上·上海市月考) 等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. (2023高三下·上海市开学考) 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数为(结果用数值表示).

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8. (2023高三下·上海市开学考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于(用 $\text{[math]}$ 表示).

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9. (2023高三下·上海市开学考) 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递增，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. (2023高三下·上海市开学考) 设集合 $\text{[math]}$ 中，至少有两个元素，且 $\text{[math]}$ 满足：①对于任意 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；②对于任意 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 有4个元素，则 $\text{[math]}$ 有个元素.

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11. (2023高三下·上海市开学考) 设 $\text{[math]}$ 为正数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值为.

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12. (2023高三上·闵行开学考) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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二、单选题

13. (2024高二上·上海市月考) 已知平面α ，直线m ， n满足m $\text{[math]}$ α ， n $\text{[math]}$ α ，则“m∥n”是“m∥α”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. (2023高三下·上海市开学考) 某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元）
135
95
80
70
60
52
40
31
人数
1
1
2
1
3
4
1
12
该公司雇员年薪的标准差约为（）

A . 24.5（万元） B . 25.5（万元） C . 26.5（万元） D . 27.5（万元）

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15. (2023高三下·上海市开学考) 已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是参数）和圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是参数）的公共点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，则切线 $\text{[math]}$ 的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023高三下·上海市开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .给出以下两个命题：命题 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；命题 $\text{[math]}$ 存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .则（）

A . p真，q真 B . p真，q假 C . p假，q真 D . p假，q假

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三、解答题

17. (2023高三下·上海市开学考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．
1. （1）求直线CQ与PD所成角的大小；
2. （2）求直线CQ到平面ADQ所成角的大小．
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18. (2023高三下·上海市开学考) 2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品 $\text{[math]}$ 万台且全部售完，每万台的销售收入为 $\text{[math]}$ 万元，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）写出年利润 $\text{[math]}$ （万元）关于年产量 $\text{[math]}$ （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
2. （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
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19. (2023高三下·上海市开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正数）的右顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点 $\text{[math]}$ 到渐近线的距离为4，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均不是双曲线的顶点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求双曲线的方程；
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率均存在时，设斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，试探究直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．
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20. (2023高三下·上海市开学考) 已知在每一项均不为0的数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ），记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，
  ①求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
  ②是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由.
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21. (2023高三下·上海市开学考) 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得的最小值记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 的控制函数”；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线，证明：函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的控制函数，并求“ $\text{[math]}$ ”的值；
3. （3）若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：当且仅当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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