设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．

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1. (2023高三下·上海市开学考) 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得的最小值记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 的控制函数”；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线，证明：函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的控制函数，并求“ $\text{[math]}$ ”的值；
5. （3）若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：当且仅当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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