1. (2022高三上·慈溪期末) 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率 ， 左、右焦点分别是、 ， 上顶点为Q，且 ， O为坐标原点.

1. （1） 求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
3. （2） 设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为 ， 求面积的最大值.