如图1，为圆O的内接三角形，的三条角平分线交于点I，延长AI交圆O于点D，连接.

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1. (2023九上·宁波期末) 如图1， $\text{[math]}$ 为圆O的内接三角形， $\text{[math]}$ 的三条角平分线交于点I，延长AI交圆O于点D，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
5. （3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 内接于圆O，连接对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求此时圆O的半径.

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