如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，， M，N分别为和的中点，为棱上的点.

1. (2023高二上·官渡期末) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M，N分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）是否存在点D，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长.