已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.

1. (2023·日照模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 垂直于动直线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等边三角形时，其面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）设 $\text{[math]}$ 为原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，且与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.