某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形回道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到

1. (2023高一上·十堰期末) 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形回道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，计划修建的公路为 $\text{[math]}$ ．如图所示， $\text{[math]}$ 为C的两个端点，测得点A到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为5千米和20千米，点B到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为25千米和4千米．以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ．假设曲线C符合函数 $\text{[math]}$ （其中m，n为常数）模型．
1. （1）求m，n的值．
3. （2）设公路 $\text{[math]}$ 与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①请写出公路 $\text{[math]}$ 长度的函数解析式 $\text{[math]}$ ，并写出其定义域．
  ②当 $\text{[math]}$ 为何值时，公路 $\text{[math]}$ 的长度最短？求出最短长度．

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