如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，

1. (2023九下·泰兴月考) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，分别过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G，
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长，并证明 $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图1，在射线 $\text{[math]}$ 上只用圆规作一点Q，使得 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，并简要说明作法）；
5. （3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，分别取 $\text{[math]}$ 的中点M、N，动点H在 $\text{[math]}$ 上运动，求 $\text{[math]}$ 的最小值