如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．

1. (2023·深圳模拟) 如图1，已知点G在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，垂足为点E， $\text{[math]}$ ，垂足为点F．
1. （1）证明与推断：
  ②求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
  ②推断： $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；
3. （2）探究与证明：
  将正方形的 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2所示，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；
5. （3）拓展与运用：
  正方形 $\text{[math]}$ 在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．