在矩形中，，，将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形， A，C，D的对应点分别为，，．

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1. (2023·保定模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到矩形 $\text{[math]}$ ， A，C，D的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，完成以下探究．
  ①如图1，求 $\text{[math]}$ 的长．
  ②如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）如图3，以 $\text{[math]}$ 为斜边在右侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）如图4，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点P，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为．

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