备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（1）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：78 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2023九下·青秀月考) 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
1. （1）【问题一】如图①，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 经过正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 边长为8，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由．
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2. (2022·龙东) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒， $\text{[math]}$ 的面积为S．
1. （1）求点C的坐标；
2. （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
3. （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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3. (2022·上海市) 平行四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，
  ①证明 $\text{[math]}$ 为菱形；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
2. （2）以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径， $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，两圆另一交点记为点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值．
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4. (2022·衢州) 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ．
  ①求菱形 $\text{[math]}$ 的面积.
  
  ②求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的大小发生变化时（ $\text{[math]}$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
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5. (2022·绍兴) 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．
1. （1）如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．
2. （2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
3. （3）当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．
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6. (2022·杭州) 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
1. （1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积
2. （2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
  ①求证：EK=2EH；
  
  ②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S₁、S₂ ．
  
  求证： $\text{[math]}$ =4sin²α-1．
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7. (2022·金华) 如图，在菱形ABCD中，AB=10. $\text{[math]}$ ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
1. （1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.
2. （2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.
3. （3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？
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二、模拟预测

8. (2023·保定模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到矩形 $\text{[math]}$ ， A，C，D的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，完成以下探究．
  ①如图1，求 $\text{[math]}$ 的长．
  ②如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图3，以 $\text{[math]}$ 为斜边在右侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）如图4，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点P，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为．
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9. (2023·宁波模拟) 如图
1. （1）【基础巩固】
  如图1， $\text{[math]}$ 于点B， $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 交BC于点D，求证： $\text{[math]}$ 。
2. （2）【尝试应用】
  如图2，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，作 $\text{[math]}$ 交BC于点F， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值。
3. （3）【拓展提高】
  如图，菱形ABCD的边长为10， $\text{[math]}$ ， E为AD上的一点，作 $\text{[math]}$ 交AC于点F，交AB于点G，且 $\text{[math]}$ ，求BG的长。
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10. (2023·唐山模拟) 如图1和图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点K在 $\text{[math]}$ 边上，点M，N分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点P从点M出发沿折线 $\text{[math]}$ 匀速运动，点E在 $\text{[math]}$ 边所在直线上随P移动，且始终保持 $\text{[math]}$ ；点Q从点D出发沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求x的值；
3. （3）用含x的式子表示 $\text{[math]}$ 的长；
4. （4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点K在线段 $\text{[math]}$ 上（包括端点）的总时长．
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11. (2023·石家庄模拟) 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 有公共点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上．将正方形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点逆时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否为定值？请说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，求 $\text{[math]}$ 的长度．
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12. (2023·交城模拟) 综合与实践
问题情境
如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点D在射线 $\text{[math]}$ 上沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）探究展示：当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，当点G恰好是 $\text{[math]}$ 中点时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
3. （3）拓展探究：在图2中，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．
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13. (2023·包头模拟)
1. （1）问题提出
  如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上找一点E，将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点C的对应点为 $\text{[math]}$ ，再在 $\text{[math]}$ 上找一点F，将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点A的对应点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上则 $\text{[math]}$ ．
2. （2）问题探究
  如图②在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当P、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，则称P为 $\text{[math]}$ 边上的“优叠点”，求此时 $\text{[math]}$ 的长度．
3. （3）问题解决
  如图③，矩形 $\text{[math]}$ 位于平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点A在标原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上的动点，运动过程中始终保持 $\text{[math]}$ ．当点P是 $\text{[math]}$ 边上唯一的“优叠点”时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，请问 $\text{[math]}$ 是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形 $\text{[math]}$ 的面积，若不能，请说明理由．
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14. (2023·宽城模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 运动到终点 $\text{[math]}$ ，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 运动到终点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的速度运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ；以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值？最大值是多少？
4. （4）连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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15. (2023·阿城模拟) 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 边与y轴交于点E．
1. （1）求点A的坐标；
2. （2）如图1，过B作 $\text{[math]}$ 的垂线交y轴负半轴于点D， $\text{[math]}$ ，设点B的横坐标为t， $\text{[math]}$ 长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
3. （3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，当以 $\text{[math]}$ 的长为三边长构成的三角形面积是8时，在 $\text{[math]}$ 上取中点F，在 $\text{[math]}$ 上取点N，将射线 $\text{[math]}$ 绕点F顺时针旋转 $\text{[math]}$ 交x轴正半轴于点M，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的周长为6，直线 $\text{[math]}$ 经过点N，求k的值．
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16. (2023·温州模拟) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .P，Q分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ， E是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求y关于x的函数表达式.
2. （2）当 $\text{[math]}$ 中有一条边与 $\text{[math]}$ 垂直时，求 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F.连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ 所在直线经过点D时，求 $\text{[math]}$ 的面积；
  ②当点G在 $\text{[math]}$ 的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围.
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17. (2023·秀洲模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 方向向点C运动.当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.连接 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边作菱形 $\text{[math]}$ ，设运动时间为t秒 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积.
2. （2）当 $\text{[math]}$ 的面积为菱形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 时，求t的值.
3. （3）作点B关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
  ②当点 $\text{[math]}$ 落在菱形 $\text{[math]}$ 的边上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023·宁波模拟) 如图

【证明体验】

如图1，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 都是菱形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在菱形 $\text{[math]}$ 内部，将菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定的角度 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 始终在菱形 $\text{[math]}$ 的内部.
1. （1）图2，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ .
2. （2）【思考探究】
  如图3，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ 并延长与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长与 $\text{[math]}$ 的平分线交于 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
  
  $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为▲ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为▲ .
  
  $\text{[math]}$ 菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，线段 $\text{[math]}$ 的长为.
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19. (2023·宁波模拟) 如图1，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动 $\text{[math]}$ 不与点 C重合 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为ts.
1. （1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，
  $\text{[math]}$ 判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系；
  
  $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）如图3，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并判断此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系；
4. （4）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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