已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．

1. (2023·湖北模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过点F且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点R．
1. （1）求证：点R为线段 $\text{[math]}$ 的中点；
3. （2）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究：是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．