如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．

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1. (2023·包头模拟) 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 是圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 与下底面所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为12， $\text{[math]}$ 为圆柱的一条母线（不与 $\text{[math]}$ 重合）．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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