已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．

1. (2023·黄浦模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的中心在坐标原点，左焦点 $\text{[math]}$ 与右焦点 $\text{[math]}$ 都在 $\text{[math]}$ 轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的正切值；（关于求 $\text{[math]}$ 的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的左支上（点 $\text{[math]}$ 不是该双曲线的顶点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形．且 $\text{[math]}$ 边的长等于双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长的2倍．