如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将绕点P顺时针旋转90°得到，设点P的运动时间为

1. (2023·绿园模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为t秒．
1. （1）用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长度为．
3. （2）当点N落在直线BC上时，求t的值．
5. （3）连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与 $\text{[math]}$ 的某条边的长度相等时，求t的值．
7. （4）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．

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