已知函数．

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1. (2023·金华模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若对 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求正实数a的最大值；
3. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若函数 $\text{[math]}$ 的最小值为m，证明：方程 $\text{[math]}$ 有唯一的实数根，（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）

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