如图，在矩形的边上取一点E，将沿直线折叠得到，此时点B的对称点F恰好落在边上，G为中点，连接BG分别与，交于M，N两点，且，连接．

1. (2023·贺州模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上取一点E，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，此时点B的对称点F恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，G为 $\text{[math]}$ 中点，连接BG分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于M，N两点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；
3. （2）猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3） $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长和 $\text{[math]}$ 的值．