过四边形的顶点A作射线， P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．

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1. (2023·深圳模拟) 过四边形 $\text{[math]}$ 的顶点A作射线 $\text{[math]}$ ， P为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，且 $\text{[math]}$ ．无论点P在何处，总有 $\text{[math]}$ ，请证明这个结论．
3. （2）【类比迁移】如图2，如果四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）【拓展应用】如图3，如果四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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