下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作，．其中，，，．现固定三角板，将三角板绕点A逆时针旋转，旋转角记为，射

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1. (2023·吉林模拟) 下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现固定三角板 $\text{[math]}$ ，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转，旋转角记为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点P，在射线 $\text{[math]}$ 上取一点Q，使 $\text{[math]}$ ，连接CQ．
1. （1）【特例探究】如图2，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系．
3. （2）【归纳证明】如图3，当点P在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
5. （3）【类比迁移】当点P在线段 $\text{[math]}$ 延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．
7. （4）【拓展应用】连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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