实践与探究

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1. (2023·南关模拟) 实践与探究
1. （1）操作一：如图①，对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ．把纸片展平后，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
  ①当矩形 $\text{[math]}$ 是正方形时， $\text{[math]}$ 是 ▲ 三角形；
  ②当 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形时，求边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
  ③若点P、 $\text{[math]}$ 、C共线，求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）操作二：如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．先将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ．然后沿过点D的直线折叠，使点C落在直线 $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ．再将矩形沿过点G的直线继续折叠，折痕为 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ．我们发现，点H的位置不同，点B的位置也不同．当点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ ．重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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