（关联运用）如图3，在等腰 和等腰
中，
，
在直线
上，
，连接
、
，则
的最小值是.
①设AM与NF的交点为点P．求证：AP=EF：
②若AB= ， 则线段EF的长为
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA ， CE＝mCD ， 连接AD ， BE ， 探究AD ， BE的位置关系．
【问题探究】
操作：如图1，分别将半圆的圆心角
（
取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆
的圆心角
所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆
的圆心角
所对的弧三等分？说说你的理由．
方法一：小敏利用刚学习的勾股定理进行解决，当 为等腰三角形时，
，设
，则
，所以
，在直角三角形ACD中，利用勾股定理可得，
，
解得 .故当
为等腰三角形时，CD的长为
.
方法二：小聪提前预习了函数这一章节的内容，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题.
下面是他的探究讨程，请你补充完整.
|
CD |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
AD |
6 |
6.1 |
6.3 |
6.7 |
7.2 |
7.8 |
8.5 |
9.2 |
a |
①表格中 的值为.
②小聪分析得知不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.64 | 7.78 | 7.90 | 8 |
| 0 | 0.99 | 1.99 | 2.97 | 3.92 | 4.82 | 5.61 | 5.90 | 5.56 | 5.18 | 4.46 | 3.30 | 0 |
| 6 | 5.91 | 5.65 | 5.21 | 4.53 | 3.56 | 2.12 | 0.24 | 2.25 | 3.01 | 4.0 | 5.00 | 6 |
请计算，当时，
；
①通过计算可知：；
②通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为
． （保留一位小数）
问题探究：
小明证明过程如下：
设直线交圆于点
， 连接
， 则
∵
∴
∴
当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；
当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．
①证明： ；
②若 ，
，则线段BE长度的最大值为．
抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，
）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，
）的距离等于点P到直线l：y=
的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=
-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
②如图2，若 ， 将点P在
外部，求
之间数量关系（不需证明）；
③如图3，写出之间的数量关系：（不需证明）．
①写出图1中一个等于90°的角；
②图1中AF与DE的数量关系是．
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 ， 点
为
上一动点，将
以
为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在
上时，
． ”
小红：“若点为
中点，给出
与
的长，就可求出
的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰中，
由
翻折得到．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，
． 若
， 则求
的长．
在中，
，
， D是AB边上一点，且
（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：
， 请写出证明过程.
①如图2，当 ， 且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.
如图3，连接EF，设EF的中点为M. 若 ， 求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.
婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．
问题探究：
为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．
探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；
探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；
探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图4所示，第4条线与原来3条线相交， 多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；
我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．
探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；
问题解决：
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：
①当矩形是正方形时，
是 ▲ 三角形；
②当是等腰直角三角形时，求边
与边
之间的数量关系；
③若点P、、C共线，求证：
．
在由 个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？
（问题探究）
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：
图1
| 矩形横长m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 公矩形纵长n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 |
| … |
结论：当m，n互质时，在 的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是．
当m，n不互质时，不妨设 ，
（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：
图2
| a | 2 | 3 | 3 | 5 | 2 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | … |
| k | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | … |
| 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f | 4 | 6 | 8 |
| 6 |
| … |
结论：当m，n不互质时，若 ，
（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在
的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是．
一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是个．
图3
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是个．
