如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．

1. (2023·汕尾模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点E为线段 $\text{[math]}$ 上的一点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点H．
1. （1）直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线 $\text{[math]}$ 的表达式；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
5. （3）若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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1. (2023·汕尾模拟) 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、 ， 点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．