综合与实践问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M ， N ．

1. (2023·柳北模拟) 综合与实践
问题情境：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直角三角板 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，将三角板的直角顶点 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 斜边 $\text{[math]}$ 的中点处，并将三角板绕点 $\text{[math]}$ 旋转，三角板的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点M ， N ．
1. （1）猜想证明：
  如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边 $\text{[math]}$ 的中点时，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （2）问题解决：
  如图②，在三角板旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）问题解决：
  如图③，在三角板旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 时，请求出线段 $\text{[math]}$ 的长．