综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，为拋物线的顶点，连接．

1. (2023·龙江模拟) 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为拋物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为；已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为；
5. （3） $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 最短时，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
7. （4）若 $\text{[math]}$ 是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．