备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第9章二次函数之几...

更新时间：2023-09-13 浏览次数：85 类型：一轮复习

一、面积、线段最值问题

1. (2023·抚顺) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点E，交 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，当 $\text{[math]}$ 的周长是线段 $\text{[math]}$ 长度的2倍时，求点P的坐标；
3. （3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点M．当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点Q的坐标．
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2. (2023·长春) 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）经过点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，横坐标为 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的左交点为 $\text{[math]}$ ，当抛物线在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的部分（包括 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
4. （4）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若四边形 $\text{[math]}$ 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形 $\text{[math]}$ 的顶点），设这两个交点分别为点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ．当以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （或以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ）为顶点的四边形的面积是四边形 $\text{[math]}$ 面积的一半时，直接写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值．
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3. (2023·天津市) 已知抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线上的点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ．
  ①求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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4. (2023·隆昌模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．
1. （1）求此抛物线的表达式；
2. （2）过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长，并求出当m为何值时 $\text{[math]}$ 有最大值，最大值是多少？
3. （3）过点P作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点M， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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5. (2023·延边模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C ．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m ．过点P作y轴的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点Q ，以 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 的右侧作正方形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式．
2. （2）点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上运动时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．（用含m的代数式表示）
3. （3）抛物线的顶点落在正方形 $\text{[math]}$ 的边上（包括顶点）时，求m的值．
4. （4）当此抛物线在正方形 $\text{[math]}$ 内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
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6. (2023·大连模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点A，B（点A在点 $\text{[math]}$ 的左侧），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为抛物线在第一象限图像上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为t， $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由．
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二、含角度问题

7. (2023·通辽) 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的函数解析式；
2. （2） P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为D，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①如图，若点P在第三象限，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
  
  ②直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点E，当点E关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在y轴上时，请直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的周长．
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8. (2023·包头) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于B，C两点（点B在点 $\text{[math]}$ 的左侧），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点D，E，C的坐标；
2. （2） F是线段OE上一点 $\text{[math]}$ ，连接AF，DF，CF，且 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ 是直角三角形；
  
  ② $\text{[math]}$ 的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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9. (2023·新疆)
1. （1）【建立模型】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【类比迁移】如图 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 、直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
  ①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （3）【拓展延伸】如图 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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10. (2023·衡阳) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ，过B、C两点作直线．
1. （1）求a的值．
2. （2）将直线 $\text{[math]}$ 向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $\text{[math]}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3. （3）抛物线上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出直线 $\text{[math]}$ 的解析式；若不存在，请说明理由．
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三、含参问题求定值（数形结合)

11. (2023·无锡) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线将 $\text{[math]}$ 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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12. (2023·德惠模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与y轴交点的坐标 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线对应的函数表达式．
2. （2） ①当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是．
  ②若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则n的取值范围是．
3. （3）二次函数 $\text{[math]}$ 图象上一点P ，其横坐标为m ．过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点Q ，点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边构建矩形PQMN ，当矩形 $\text{[math]}$ 的边与二次函数 $\text{[math]}$ 的图象只有三个交点时，直接写出m的取值范围．
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13. (2023·乾安模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+bx+c的图象经过点A(0，-4)，点B(4，0)．
1. （1）求此二次函数的解析式．
2. （2）若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．
3. （3）当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m ，最小值为n ，若m-n＝3，直接写出t的值．
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14. (2023·金寨模拟) 如图，二次函数y₁＝ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.
1. （1）直接写出二次函数的表达式；以及顶点D的坐标．
2. （2） ①若点P（0，t）（t<-1）是y轴上的点，将点Q（-5，0）绕着点P按照顺时针方向旋转90°得到点E ，当点E恰好落在二次函数图象上时，求t的值；
  ②在①的条件下，连接AD、AE ，设∠DAE=α，若点N是抛物线上动点，将射线CB绕点C旋转α角度后过点N ，求N点的坐标．
3. （3）将二次函数y₁的图像沿x轴翻折得到y₂ ，设y₁与y₂组成的图形为M ，直线L；y=-x+m与M有公共点，直接写出：L与M的公共点为3个时，m的值．
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15. (2023·广东模拟) 抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
1. （1）如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．
  ①求该抛物线的解析式；
  ②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
2. （2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P运动时， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
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四、多边形应用-结合函数图像

16. 如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，以1m/s的速度从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 的速度从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动．若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好到达点 $\text{[math]}$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的运动时间 $\text{[math]}$ 之间的函数关系图象（点 $\text{[math]}$ 为图象的最高点），则平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023·抚顺) 如图， $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点D ，点E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点G ，过点G作 $\text{[math]}$ 于点H ，点E沿 $\text{[math]}$ 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ，四边形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

A . B . C . D .

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18. (2023·岷县模拟) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，在线段 $\text{[math]}$ 上匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 时停止设点 $\text{[math]}$ 运动的路程为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数图象如图 $\text{[math]}$ 所示，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . 60 B . 48 C . 24 D . 12

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19. (2023·莱阳模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 停止，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 停止．图2是点 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与运动时间 $\text{[math]}$ 函数关系的图象，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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五、三角形存在性问题

20. (2023·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于B，C两点.
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
3. （3）过点 $\text{[math]}$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $\text{[math]}$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
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21. (2023·双柏模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以 $\text{[math]}$ 为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. (2023·怀化) 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证：无论 $\text{[math]}$ 为何值，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 上总存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角．
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23. (2023·游仙模拟) 如图，二次函数的图象分别交x轴于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的外心，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请求出m的值；
3. （3）在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点P，使得以点B、D、P为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，求出点P的纵坐标，若不存在，请说明理由．
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24. (2023·嘉定模拟) 如图，在直角坐标平面 $\text{[math]}$ 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A、B、C三点．
1. （1）求点A、B的坐标；
2. （2）联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求抛物线表达式：
  
  ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．
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六、中心对称图形存在性问题

25. (2023·枣庄) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
1. （1）求该抛物线的表达式；
2. （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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26. (2023·建昌模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴，y轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）若点P在第一象限，连接 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
3. （3）如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线 $\text{[math]}$ 于点N，Q是直线 $\text{[math]}$ 上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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27. (2023·朝阳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b、c为常数）与x轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ． P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P作x轴的垂线，交直线 $\text{[math]}$ 于点C ，在该垂线的点P上方取一点D ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，设点E的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线所对应的函数表达式．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求矩形 $\text{[math]}$ 的周长．
3. （3）当矩形 $\text{[math]}$ 被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．
4. （4）当抛物线 $\text{[math]}$ 在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
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28. (2023·龙江模拟) 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为拋物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为；已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为；
3. （3） $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 最短时，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
4. （4）若 $\text{[math]}$ 是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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29. (2023·扬州) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点A在y轴正半轴上．
1. （1）如果四个点 $\text{[math]}$ 中恰有三个点在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上．
  ① $\text{[math]}$ ▲ ；
  ②如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ 轴，求菱形的边长；
  ③如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
2. （2）已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
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