在中，．

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1. (2023七下·沙坪坝期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 边上找一点E，连接 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 延长线于点G，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点D．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （2）如图2，在 $\text{[math]}$ 内部找一点E，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点E旋转至 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点D，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3，在（2）问的条件下，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点R，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕着R点顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最小时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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