如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．

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1. (2023·河北) 如图1和图2，平面上，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ．将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 所在直线交折线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 在该折线上运动的路径长为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2．连接 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数，并直接写出当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②若点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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