【问题背景】中，，，点D为直线上一点．

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1. (2023七下·深圳期末) 【问题背景】 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为直线 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）【初步探究】
  如图，当点D在线段 $\text{[math]}$ 上时，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于点A，且 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 于H点，交 $\text{[math]}$ 于F点．
  
  求证： $\text{[math]}$ ．
  
  请将证明过程补充完整：
  
  证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  
        $\text{[math]}$ （），
  
        $\text{[math]}$       ▲      （）．
  
  $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  
  在 $\text{[math]}$ 中，
  
        $\text{[math]}$ ，
  
        $\text{[math]}$ ．
  
  在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$
  
        $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ （）．
3. （2）【推广探究】
  如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
5. （3）【拓展应用】
  若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其它条件不变时， $\text{[math]}$ ．

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