综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在中，，．

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1. (2023·宁夏) 综合与实践
问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）操作发现：将 $\text{[math]}$ 折叠，使边 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点是点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
3. （2）进一步探究发现： $\text{[math]}$ ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： $\text{[math]}$ ；
  拓展应用：
  
  当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求这个菱形较长对角线的长．
5. （3）拓展应用：
  
  当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求这个菱形较长对角线的长．

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