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2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之几何综合

更新时间:2024-05-23 浏览次数:125 类型:三轮冲刺
一、解答题
    1. (1) 如图1,平分分别在射线上,若 , 求证:
    2. (2) 如图2,在中,交边于点于点H . 已知 , 求的面积;
    3. (3) 如图3,在等边中,点D在边上,P延长线上一点,E为边上一点,已知平分 , 求的长.
  • 2. (2024·津市市模拟) 已知 , 点边上一点,过点于点 , 连接 , 点中点,连接

    1. (1) 如图①,线段之间的数量关系为的度数为
    2. (2) 如图②,将绕点按顺时针方向旋转 , 请判断线段之间的数量关系及的度数,并说明理由;
    3. (3) 若绕点旋转的过程中,当点落到直线上时,连接 , 若 , 请直接写出的长.
  • 3. (2023·海南) 如图1,在菱形中,对角线相交于点 , 点为线段上的动点(不与点重合),连接并延长交边于点 , 交的延长线于点

    1. (1) 当点恰好为的中点时,求证:
    2. (2) 求线段的长;
    3. (3) 当为直角三角形时,求的值;
    4. (4) 如图2,作线段的垂直平分线,交于点 , 交于点 , 连接 , 在点的运动过程中,的度数是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
  • 4. 已知在中, , 以边为直径作 , 与边交于点 , 点为边的中点,连接

    1. (1) 求证:的切线;
    2. (2) 点为直线上任意一动点,连接于点 , 连接

           时,求的长;

           的最大值.

  • 5. (2023·哈尔滨) 已知内接于的直径,N的中点,连接于点H

    1. (1) 如图①,求证
    2. (2) 如图②,点D上,连接于点E , 若 , 求证
    3. (3) 如图③,在(2)的条件下,点F上,过点F , 交于点G , 过点F , 垂足为R , 连接 , 点T的延长线上,连接 , 过点T , 交的延长线于点M , 若 , 求的长.
  • 6. (2021九上·余姚期中) 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动:将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤90°),得到矩形ABCD′,连结BD

    [探究1]如图1,当α=90°时,点C′恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.

    [探究2]如图2,连结AC′,过点D′作DMAC′交BD于点M . 线段DMDM相等吗?请说明理由.

    [探究3]在探究2的条件下,射线DB分别交AD′,AC′于点PN(如图3),发现线段DNMNPN存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明.

  • 7. (2017·湖州)

    已知正方形 的对角线 相交于点

    1. (1) 如图1, 分别是 上的点, 的延长线相交于点 .若 ,求证:

    2. (2) 如图2, 上的点,过点 ,交线段 于点 ,连结 于点 ,交 于点 .若

      ①求证:

      ②当 时,求 的长.

二、实践探究题
  • 8. (2024八下·从江期中) 已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.

     
             ①                     ②                      ③

    1. (1) 【建立模型】

      如图①所示,连接BE,DE.求证:BE=DE;

    2. (2) 【模型应用】

      如图②所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,判断△FBG的形状,并说明理由;

    3. (3) 【模型迁移】

      如图③所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,BE=BF,求证:GE=(-1)DE.

  • 9. (2024九上·南山月考) 【问题呈现】

    都是直角三角形, , 连接 , 探究的位置关系.

    1. (1) 如图1,当时,直接写出的位置关系:
    2. (2) 如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
    3. (3) 【拓展应用】

      时,将绕点C旋转,使三点恰好在同一直线上,求的长.

    1. (1) 【特例感知】

      如图1,在正方形ABCD中,点P在边AB的延长线上,连结PD , 过点DDMPD , 交BC的延长线于点M . 求证:△DAP≌△DCM

    2. (2) 【变式求异】

      如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,过点DDQAB , 交AC于点Q , 点P在边AB的延长线上,连结PQ , 过点QQMPQ , 交射线BC于点M . 已知BC=8,AC=10,AD=2DB , 求的值.

    3. (3) 【拓展应用】

      如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点P在边AB的延长线上,点Q在边AC上(不与点AC重合),连结PQ , 以Q为顶点作∠PQM=∠PBC , ∠PQM的边QM交射线BC于点M . 若ACmABCQnACmn是常数),求的值(用含mn的代数式表示).

  • 11. (2023·襄阳) 【问题背景】

    人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形的对角线相交于点 , 点又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形绕点怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的 . 想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)

    九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形的对角线相交于点 , 点落在线段上,为常数).

    1. (1) 【特例证明】

      如图1,将的直角顶点与点重合,两直角边分别与边相交于点

      ①填空:    ▲    

      ②求证: . (提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明;也可过点分别作的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.

    2. (2) 【类比探究】

      如图2,将图1中的沿方向平移,判断的数量关系(用含的式子表示),并说明理由.

    3. (3) 【拓展运用】

      如图3,点在边上, , 延长交边于点 , 若 , 求的值.

  • 12. (2023·锦州) 【问题情境】如图,在中, . 点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段(旋转角小于),连接 , 以为底边在其上方作等腰三角形 , 使 , 连接
    1. (1) 【尝试探究】

      如图1,当时,易知

      如图2,当时,则的数量关系为;

    2. (2) 如图3,写出的数量关系(用含α的三角函数表示).并说明理由;

    3. (3) 【拓展应用】

      如图4,当 , 且点BEF三点共线时.若 , 请直接写出的长.

  • 13. (2023·徐州) 【阅读理解】如图1,在矩形中,若 , 由勾股定理,得 , 同理 , 故

    1. (1) 【探究发现】如图2,四边形为平行四边形,若 , 则上述结论是否依然成立?请加以判断,并说明理由.

    2. (2) 【拓展提升】如图3,已知的一条中线, . 求证:

    3. (3) 【尝试应用】如图4,在矩形中,若 , 点P在边上,则的最小值为

  • 14. (2023·前郭模拟) 综合与实践,【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点, ,EP与正方形的外角 的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系,并加以证明;

    1. (1) 【思考尝试】同学们发现,取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
    2. (2) 【实践探究】希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合), 是等腰直角三角形, ,连接CP,可以求出 的大小,请你思考并解答这个问题.
    3. (3) 【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合), 是等腰直角三角形, ,连接DP.知道正方形的边长时,可以求出 周长的最小值.当 时,请你求出 周长的最小值.
  • 15. (2022·深圳)    
    1. (1) 【探究发现】如图①所示,在正方形中,边上一点,将沿翻折到处,延长边于点.求证:

    2. (2) 【类比迁移】如图②,在矩形中,边上一点,且沿翻折到处,延长边于点延长边于点的长.

    3. (3) 【拓展应用】如图③,在菱形中,边上的三等分点,沿翻折得到 , 直线于点的长.

  • 16. (2022·乐山) 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

    2.如图,在正方形ABCD中,.求证:.

    证明:设CE与DF交于点O,

    ∵四边形ABCD是正方形,

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究

    1. (1) 【问题探究】如图,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.试猜想的值,并证明你的猜想.

    2. (2) 【知识迁移】如图,在矩形ABCD中, , 点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.则.

    3. (3) 【拓展应用】如图,在四边形ABCD中, , 点E、F分别在线段AB、AD上,且.求的值.

    1. (1) 【基础巩固】
      如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG= EG.
    2. (2) 【尝试应用】
      如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求 的值.
    3. (3) 【拓展提高】
      如图3,在ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.
       
    1. (1) 【推理】
      如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠,点C落在点F处,连结BE,CF,延长CF交AD于点G.

      求证: .
    2. (2) 【运用】
      如图2,在(推理)条件下,延长BF交AD于点H.若 ,求线段DE的长.
    3. (3) 【拓展】
      将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,若 ,求 的值(用含k的代数式表示).
  • 19. (2020·宁波) 如图

    1. (1) 【基础巩固】

      如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证: .

    2. (2) 【尝试应用】

      如图2,在 中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长.

    3. (3) 【拓展提高】

      如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF, ,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

三、综合题
  • 20. (2024九下·广州月考) 如图,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的⊙P分别交x轴,y轴于C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连结DE交OM于点K.

    1. (1) 若点M的坐标为(3,4),

      ①求A,B两点的坐标;

      ②求ME的长.

    2. (2) 若 =3,求∠OBA的度数.
    3. (3) 设tan∠OBA=x(0<x<1), =y,直接写出y关于x的函数解析式.
    1. (1) [问题探究]

      如图1,在正方形中,对角线相交于点O.在线段上任取一点P(端点除外),连接

        

      ①求证:

      ②将线段绕点P逆时针旋转,使点D落在的延长线上的点Q处.当点P在线段上的位置发生变化时,的大小是否发生变化?请说明理由;

      ③探究的数量关系,并说明理由.

    2. (2) [迁移探究]

      如图2,将正方形换成菱形 , 且 , 其他条件不变.试探究的数量关系,并说明理由.

        

  • 22. (2023·娄底) 如图1,点为等边的重心,点边的中点,连接并延长至点 , 使得 , 连接

      

    1. (1) 求证:四边形为菱形.
    2. (2) 如图2,以点为圆心,为半径作

      ①判断直线的位置关系,并予以证明.

      ②点为劣弧上一动点(与点、点不重合),连接并延长交于点 , 连接并延长交于点 , 求证:为定值.

  • 23. (2023·宁夏) 综合与实践

    问题背景

    数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.

    探究发现

    如图1,在中,

      

    1. (1) 操作发现:将折叠,使边落在边上,点的对应点是点 , 折痕交于点 , 连接 , 则 , 设 , 那么(用含的式子表示);
    2. (2) 进一步探究发现: , 这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明:; 

      拓展应用:

      当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.例如,图1中的是黄金三角形.如图2,在菱形中, . 求这个菱形较长对角线的长.

    3. (3) 拓展应用:

      当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.例如,图1中的是黄金三角形.如图2,在菱形中, . 求这个菱形较长对角线的长.

  • 24. (2023·巴中) 综合与实践.

    1. (1) 提出问题如图 , 在中, , 且 , 连接 , 连接的延长线于点

           的度数是

           

    2. (2) 类比探究如图 , 在中, , 且 , 连接并延长交于点

           的度数是 ;

             .

    3. (3) 问题解决如图 , 在等边中,于点 , 点在线段不与重合 , 以为边在的左侧构造等边 , 将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度如图的中点,的中点.

           说明为等腰三角形.

           的度数.

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