梁先生退休后回到农村祖屋居住，从外地移植过来一颗枣树种在自己重新修缮的院子里。入秋后枣树结满了鲜红的大枣，十分诱人。一日，邻居廉某到梁先生家串门，见梁先生未在家中便私自爬上树摘枣，正在摘枣之际，听到梁先生开门声一时惊慌，不慎从树上跌落受伤。梁先生进门见状立即拨打120救助，并通过村委会联系到了廉某在邻村打工的女儿，后跟随120车辆一起将廉某送往市区医院。由于廉某家属没有及时到场，梁先生垫付了医药费2万元。但廉某当日抢救无效死亡。廉某女儿女婿到场后，非但没有对梁先生表示感谢，还以梁先生未尽到安全保障义务为由，拒绝返还垫付的医药费，并向法院起诉要求梁先生承担赔偿责任总计80万元。
结合材料，运用《法律与生活》知识，说明法院是否该支持廉某家人的诉求，并说明理由。
