如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E ，作于点F ，与线段交于点G ，连接．

1. (2023·益阳) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，作 $\text{[math]}$ 于点F ，与线段 $\text{[math]}$ 交于点G ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 平分四边形 $\text{[math]}$ 的面积时，求 $\text{[math]}$ 的长．