已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．

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1. (2023高二下·洛阳期末) 已知圆S： $\text{[math]}$ ，点P是圆S上的动点，T是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，Q为PT的中点，过Q作 $\text{[math]}$ 交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
1. （1）求曲线C的方程；
3. （2）过 $\text{[math]}$ 的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．

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