【备考2024】真题变式分层练：第20题—2023年高考数学...

更新时间：2023-10-03 浏览次数：98 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·全国乙卷) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在C上.
1. （1）求C的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
答案解析收藏纠错 + 选题

二、基础

2. (2023高三上·阳江开学考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的两个端点，C的焦距为2． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是椭圆C上异于A ， B的动点，直线PM与C的另一交点为D ，直线PN与C的另一交点为E ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）证明：直线DE的倾斜角为定值．
答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2023高三上·哈尔滨开学考) 如图，椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．当直线 $\text{[math]}$ 的斜率为0时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）求使 $\text{[math]}$ 取最小值时直线 $\text{[math]}$ 的方程．
答案解析收藏纠错 + 选题
4. (2023高二下·湛江期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交椭圆于A ， $\text{[math]}$ 两点，设两直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
答案解析收藏纠错 + 选题
5. (2023高二下·洛阳期末) 已知圆S： $\text{[math]}$ ，点P是圆S上的动点，T是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，Q为PT的中点，过Q作 $\text{[math]}$ 交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
1. （1）求曲线C的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
答案解析收藏纠错 + 选题
6. (2023高二下·揭阳期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 分别相切于 $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）试问直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2023高二下·天河期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）经过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 的面积.
答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2023高二下·成都期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且其中一个焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的A，B两点，且满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），求弦长 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏纠错 + 选题
9. (2023高二下·安宁期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上位于 $\text{[math]}$ 两侧的动点，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动时，始终保持 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值．
答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2023高二下·汕头期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点相同，曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的直线交曲线 $\text{[math]}$ 于H、G两点，若线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求四边形OHNG面积的最大值
答案解析收藏纠错 + 选题
11. (2023高二下·花都期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏纠错 + 选题

三、提升

12. (2023·普宁开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2023高二下·江门期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦距．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过左焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（其中点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方），求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比的取值范围．
答案解析收藏纠错 + 选题
14. (2023高二下·遂宁期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上一点， $\text{[math]}$ 面积最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ .求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ ；
3. （3） $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点，若过点 $\text{[math]}$ 且斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.问： $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析收藏纠错 + 选题
15. (2023高二下·嘉定期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ ，过右焦点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 的坐标及该椭圆的离心率；
2. （2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
3. （3）若弦AB，CD的斜率均存在，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2023高二下·成都期末) 已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，且 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若弦长 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ，求斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围．
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2023高二下·黄浦期末) 椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆的左右顶点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为左右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上的动点.
1. （1）求椭圆的离心率；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，是否存在位于第一象限的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由.
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2023高二下·静安期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是非零常数， $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 的斜率.
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程，并讨论 $\text{[math]}$ 的形状与 $\text{[math]}$ 值的关系；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.若线段 $\text{[math]}$ 的长度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2023高二下·清远期末) nbsp；已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点，过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于P， Q( 异于点 $\text{[math]}$ ，当直线的斜率不存在时， $\text{[math]}$ ..
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）求△APQ面积的取值范围.
答案解析收藏纠错 + 选题
20. (2023·北京卷) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 $\text{[math]}$ 的左、右顶点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为第一象限内E上的动点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
答案解析收藏纠错 + 选题
21. (2023高二下·深圳月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上异于左､右顶点的一点， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别记为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
答案解析收藏纠错 + 选题
22. (2023高二下·玉林期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，且 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．
答案解析收藏纠错 + 选题
23. (2023高二下·高台月考) 已知定点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为圆心）上一动点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 且不与 $\text{[math]}$ 轴重合的直线 $\text{[math]}$ 与（1）中曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，求 $\text{[math]}$ 的面积.
答案解析收藏纠错 + 选题

四、培优

24. (2023高三上·深圳月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的公共弦 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 轴时，求 $\text{[math]}$ 的值，并判断抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点是否在直线 $\text{[math]}$ 上；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值，使得抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点在直线 $\text{[math]}$ 上.
答案解析收藏纠错 + 选题
25. (2023高二下·杨浦期末) 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的一点，顶点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为2，直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
3. （3）点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个点，圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆，过椭圆 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明.
答案解析收藏纠错 + 选题
26. (2023高二下·深圳期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角，探究椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的结论．
答案解析收藏纠错 + 选题
27. (2023高二下·普宁月考) 动点 $\text{[math]}$ 与两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的连线的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值．
答案解析收藏纠错 + 选题
28. (2022·雅安模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点，过焦点且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线被椭圆 $\text{[math]}$ 截得的线段长为3.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程.
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 以及上顶点 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，求此时的弦长 $\text{[math]}$ .
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴垂直， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上关于 $\text{[math]}$ 轴对称的两点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于异于 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差取得最大值时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
答案解析收藏纠错 + 选题