综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”【操作实践】：如图

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1. (2023·东莞模拟) 综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现 $\text{[math]}$ 纸的长与宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其比值为 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，他们上网查阅资料也发现 $\text{[math]}$ 纸的长与宽的比是一个特殊值“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ 不妨定义长与宽的比为 $\text{[math]}$ 的矩形为“标准矩形” $\text{[math]}$ 【操作实践】：如图 $\text{[math]}$ ，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形 $\text{[math]}$ ，连接对角线 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上截取了 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．
【问题探究】：
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为“标准矩形”；
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ，数学活动小组的同学在图 $\text{[math]}$ 的基础上隐藏了线段 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的正切值．

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