如图1，在中，，， M是边上一点，N是延长线上一点，．

1. (2023八下·汉阳期末) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 边上一点，N是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证 $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于D点，连接 $\text{[math]}$ ，当M点在 $\text{[math]}$ 上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段 $\text{[math]}$ 间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．
5. （3）如图3，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于D点，过B作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．