【问题提出】如图，在中，，点，分别为边，的中点，将绕点顺时针旋转，连接，，试探究，之间存在怎样的数量关系和位置关系？

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1. (2023·碧江模拟) 【问题提出】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系和位置关系？
1. （1）【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至图 $\text{[math]}$ 的位置，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按以下思路完成填空 $\text{[math]}$ 第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系 $\text{[math]}$ ：
  $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，
  $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  又 $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．
3. （2）【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至图 $\text{[math]}$ 的位置，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系与位置关系，并就图 $\text{[math]}$ 所示的情况加以证明；
5. （3）【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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