如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

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1. (2023·青岛) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，动点Q从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为邻边的平行四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：
1. （1）当点M在 $\text{[math]}$ 上时，求t的值；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式和S的最大值；
5. （3）是否存在某一时刻t，使点B在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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